Funkcja kardynalna

Funkcja kardynalna – funkcja, której wartościami są liczby kardynalne. Zwykle tej nazwy używa się gdy, dodatkowo, wartości funkcji są nieskończonymi liczbami kardynalnymi. Często funkcje te są klasami.

Funkcje kardynalne są jednym z najbardziej widocznych połączeń teorii mnogości z innymi dziedzinami matematyki. Dostarczają one wygodnego języka do opisu różnych własności obiektów matematycznych i są również interesującym obiektem badań samym w sobie.

• Najczęściej spotykaną funkcją kardynalną jest funkcja moc zbioru, która dla zbioru ${\displaystyle A}$ przyporządkowuje jego moc ${\displaystyle |A|.}$
• Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech ${\displaystyle I}$ będzie takim ideałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle S,}$ który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Określamy:

${\displaystyle \mathrm {add} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I{\big \}},}$

${\displaystyle \mathrm {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=S{\big \}},}$

${\displaystyle \mathrm {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq S\ \wedge \ A\notin I{\big \}},}$

${\displaystyle \mathrm {cof} (I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B){\big \}}.}$

• Dla praporządku ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\sqsubseteq )}$ określa się liczbę nieograniczoną ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )}$ oraz liczbę dominującą ${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )}$ tego praporządku przez

${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x){\big \}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.}$

Funkcje kardynalne są szeroko używane w topologii, gdzie są bardzo wygodnym narzędziem w opisie własności przestrzeni topologicznych^[1][2]. Na przykład rozważa się następujące funkcje kardynalne:

• Ciężar przestrzeni ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle \mathrm {w} (X)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}}$ jest bazą topologii na ${\displaystyle X\}+\aleph _{0}.}$
• Gęstość przestrzeni ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle \mathrm {d} (X)=\min\{|S|:S\subseteq X\ \wedge \ \mathrm {cl} _{X}(S)=X\}+\aleph _{0}.}$
• Celularność przestrzeni ${\displaystyle X}$ to

${\displaystyle \mathrm {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}}$ jest rodziną parami rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów ${\displaystyle X\}+\aleph _{0}.}$

• Ciasność przestrzeni ${\displaystyle X}$ w punkcie ${\displaystyle x\in X}$ to

${\displaystyle t(x,X)=\sup {\big \{}\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in \mathrm {cl} _{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in \mathrm {cl} _{X}(Y){\big \}}}$

i ciasność przestrzeni ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}.}$

• Rozciągłość przestrzeni ${\displaystyle X}$ to

${\displaystyle s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X}$ z topologią podprzestrzeni jest przestrzenią dyskretną${\displaystyle \}.}$

Funkcje kardynalne są często używanym narzędziem do opisu i badania algebr Boole’a^[3][4]. Rozważa się, na przykład, następujące funkcje:

• Celularność ${\displaystyle c(\mathbb {B} )}$ algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ jest to supremum mocy antyłańcuchów w ${\displaystyle \mathbb {B} .}$
• Długość ${\displaystyle \mathrm {length} (\mathbb {B} )}$ algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ to

${\displaystyle \mathrm {length} (\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} }$ jest łańcuchem${\displaystyle {\big \}}}$

• Głębokość ${\displaystyle \mathrm {depth} (\mathbb {B} )}$ algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ to

${\displaystyle \mathrm {depth} (\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} }$ jest dobrze uporządkowanym łańcuchem${\displaystyle {\big \}}.}$

• Nieporównywalność ${\displaystyle \mathrm {Inc} (\mathbb {B} )}$ algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ to

${\displaystyle \mathrm {Inc} (\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} }$ oraz ${\displaystyle {\big (}\forall a,b\in A{\big )}{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leqslant b\ \vee \ b\leqslant a){\big )}{\big \}}.}$

• Pseudociężar ${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )}$ algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ to

${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )=\min {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} \setminus \{0\}}$ oraz ${\displaystyle {\big (}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big )}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leqslant b{\big )}{\big \}}.}$

Funkcje kardynalne w algebrze są mniej wyeksponowane, niemniej jednak są one tam obecne. Przykładami takich funkcji są:

• Wymiar przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ nad ciałem${\displaystyle K.}$
• Dla modułu wolnego ${\displaystyle M}$ nad pierścieniem przemiennym ${\displaystyle R}$ wprowadza się rangę ${\displaystyle \mathrm {rank} (M)}$ jako moc dowolnej bazy wolnej tego modułu.
• Dla podprzestrzeni ${\displaystyle W}$ przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ rozważa się kowymiar tej przestrzeni (względem ${\displaystyle V}$).
• Dla (przemiennej) grupy nieskończenie podzielnej ${\displaystyle G}$ rozważa się rangi ${\displaystyle \nu _{0}(G)}$ i ${\displaystyle \nu _{p}(G)}$ (dla wszystkich liczb pierwszych ${\displaystyle p}$) dane przez rozkład

${\displaystyle G=\left(\bigoplus \limits _{p\in \mathbb {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(\nu _{p}(G))}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(\nu _{0}(G))}.}$

(Powyżej, ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ jest grupą addytywną liczb wymiernych, a ${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]=\{e^{\frac {2ni\pi }{p^{m}}}\,|\,n\in \mathbb {Z} ^{+},\,m\in \mathbb {Z} ^{+}\}}$ jest grupą ${\displaystyle p}$-quasi cykliczną).

• Dla każdej struktury algebraicznej można rozważać minimalną moc zbiorów generatorów tej struktury.

• Dla przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$ rozważa się zbiory Enflo-Rosenthala (tzw. ER-zbiory) będące uogólnieniami bazy Schaudera. (Zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ jest zbiorem Enflo-Rosenthala jeśli każdy jego przeliczalny podzbiór może być uporządkowany tak, że stanowi ciąg bazowy oraz każdy element ${\displaystyle X}$ jest granicą ciągu skończonych kombinacji elementów ${\displaystyle A}$). Minimalne moce ER-zbiorów są (oczywiście) funkcjami kardynalnymi na przestrzeniach Banacha dopuszczających istnienie takich zbiorów^[5].