Własność Darboux
Własność Darboux – jedna z najważniejszych własności funkcji ciągłych. Własność ta mówi, że funkcja ciągła przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy dwiema danymi wartościami.
Przyjmijmy na przykład, że temperatura powietrza jest ciągłą funkcją czasu. Jeśli poranny odczyt wyniósł -5 stopni, a wieczorny 10 stopni, to wykorzystując własność Darboux możemy stwierdzić, że w ciągu dnia każda temperatura pomiędzy -5 a 10 stopni zaistniała przynajmniej raz; w szczególności co najmniej raz było 0 stopni.
Funkcje rzeczywiste
Definicja
Funkcja ma własność Darboux, jeśli obraz każdego przedziału jest znowu przedziałem. W szczególności[1]:
- Jeżeli obraz funkcji obejmuje cały przedział (albo ), więc istnieje taka wartość należąca do przedziału otwartego że
Własności
- Twierdzenie Darboux (opublikowane przez Gastona Darboux) mówi, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux.
- ma własność Darboux, ale nie jest ciągła w punkcie 0.
- Suma dwóch funkcji o własności Darboux nie musi mieć własności Darboux[2]. Za pomocą indukcji pozaskończonej można[3] znaleźć taką funkcję o własności Darboux, że nawet funkcja nie ma własności Darboux.
- Jeśli funkcja jest różniczkowalna w pewnym zbiorze, to jej pochodna także ma własność Darboux w tym zbiorze[2].
Uogólnienie
Mówimy, że funkcja między przestrzeniami topologicznymi ma własność Darboux, jeżeli obraz każdego podzbioru spójnego przestrzeni jest podzbiorem spójnym przestrzeni [potrzebny przypis]. (Jest to uogólnienie powyższego pojęcia, gdyż podzbiór jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem).
Przypisy
- ↑ Darboux własność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-04] .
- ↑ a b c
Darboux property (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-11-22].
- ↑ T. Radakovič, Über Darbouxsche und stetige Funktionen, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), s. 117–122.
- p
- d
- e
- analiza matematyczna
- topologia
odmiany (warunki wystarczające) |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
uogólnienia (warunki konieczne) |
| ||||
twierdzenia | |||||
powiązane funkcje |
| ||||
inne powiązane tematy | |||||
uczeni |