Punkt nieciągłości
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Gamma_abs_arg.png/220px-Gamma_abs_arg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Sinx_x.png/220px-Sinx_x.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Signum_function.svg/220px-Signum_function.svg.png)
Punkt nieciągłości, nieciągłość – punkt w dziedzinie funkcji, w którym nie jest ciągła[2]. Czasem wymaga się, żeby był to punkt skupienia tej dziedziny, a niekoniecznie jej element[3][4].
Rodzaje
Wyróżnia się kilka przenikających się odmian nieciągłości. Co najmniej dwie z nich są określone dla funkcji między dowolnymi przestrzeniami topologicznymi:
- punkt nieciągłości nazywa się odosobnionym, jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu funkcja jest ciągła[potrzebny przypis]. Przykład funkcji z odosobnioną nieciągłością to funkcja signum (znak) – punkt nieciągłości to 0. Przykładem funkcji, dla której każdy punkt jej dziedziny jest punktem nieciągłości, jest funkcja Dirichleta.
- Jeśli w punkcie nieciągłości istnieje granica funkcji, to taką nieciągłość nazywa się usuwalną[5].
Dodatkowe rodzaje nieciągłości definiuje się dla funkcji zmiennej rzeczywistej ():
- Punkt nieciągłości nazywa się nieciągłością zwyczajną lub pierwszego rodzaju, jeśli istnieją skończone granice jednostronne funkcji (lewostronna oraz prawostronna )[6]. Czasem wymaga się dodatkowo, by granice te były różne[3]; w tym wypadku mówi się też o nieciągłości skokowej[5] lub skoku funkcji[6], choć ten drugi termin oznacza też różnicę między granicami jednostronnymi[7].
- O nieciągłości drugiego rodzaju mówi się, jeśli w danym punkcie skończone granice jednostronne nie istnieją[5][6]. Czasem wymaga się, by co najmniej jedna z granic jednostronnych była nieskończona[3]. W tym kontekście również mawia się o nieciągłości skokowej – jeśli obie granice są nieskończone i różne lub jedna jest skończona, a druga nie[5].
Twierdzenia
Dla funkcji rzeczywistej zbiór nieciągłości jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych[4]. Istnieją też wyniki o nieciągłościach funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej ():
- Funkcja monotoniczna w przedziale ma w nim wyłącznie nieciągłości skokowe[8].
- Pochodna funkcji ma przeliczalną liczbę nieciągłości skokowych[9].
- Niech będzie ograniczoną funkcją mierzalną. Funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero[potrzebny przypis].
Przypisy
- ↑ funkcja nieciągła, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-04] .
- ↑ punkt nieciągłości funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-04] .
- ↑ a b c punkt, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-04] .
- ↑ a b
Discontinuity point (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-10-04].
- ↑ a b c d
Typy nieciągłości, Khan Academy [dostęp 2022-10-04].
- ↑ a b c Fichtenholz 1999 ↓, s. 127.
- ↑ skok funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-04] .
- ↑ Fichtenholz 1999 ↓, s. 129.
- ↑ Schinzel 1976 ↓, s. 44.
Bibliografia
- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 12. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.
- Andrzej Schinzel: Wacław Sierpiński. Wydawnictwo Iskry, 1976, seria: Współczesne życiorysy Polaków.
Literatura dodatkowa
- Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998, s. 270–271.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-10-04].
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Removable Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-10-04].
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Jump Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-10-04].
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Infinite Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-10-04].
- p
- d
- e
odmiany (warunki wystarczające) | |
---|---|
uogólnienia (warunki konieczne) | |
twierdzenia | |
powiązane funkcje |
|
inne powiązane tematy | |
uczeni |