Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![]() | Ten artykuł od 2023-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Twierdzenie Banacha o kontrakcji, o punkcie stałym[1][2][3], zasada Banacha[4] – twierdzenie topologii i teorii punktu stałego, dotyczące zupełnych przestrzeni metrycznych. Mówi ono, że dowolna kontrakcja takiej przestrzeni ma dokładnie jeden punkt stały. Do treści tego twierdzenia włącza się też konstruktywny dowód pierwszego faktu – do punktu stałego zbiega dowolny ciąg wartości iteracji danej kontrakcji, zaczynający się w dowolnym miejscu.
Ilustracją twierdzenia bywa obrazowa konsekwencja: gdy mapę Polski rozłoży się gdziekolwiek na ziemi w Polsce, to dokładnie jeden punkt powierzchni gruntu leży pod swoim obrazem[5].
Twierdzenie to opublikował Stefan Banach w 1922 roku w czasopiśmie „Fundamenta Mathematicae”, w kontekście przestrzeni Banacha[5]. Znalazło zastosowanie w analizie matematycznej, m.in. w badaniach równań różniczkowych, całkowych i analizie numerycznej. Udowodniono też:
- uogólnienia – analogiczne własności szerszych klas funkcji;
- odwrócenia – pewne własności funkcji zdefiniowane punktami stałymi pociągają za sobą kontrakcyjność.
Treść
Jeśli jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś jest kontrakcją, to[2]:
- odwzorowanie ma dokładnie jeden punkt stały oraz
- dla dowolnego ciąg jest zbieżny do
Dowód
- Najłatwiej wykazać jednoznaczność punktu stałego: niech bowiem będzie stałą Lipschitza kontrakcji a jej punktami stałymi. Mamy wówczas
- W ostatnim kroku skorzystano z ograniczeń na stałą implikujących Finalna nierówność zachodzi tylko dla co z definicji metryki oznacza, że a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.
- Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt i oszacujmy odległość między wartością -tej i -tej iteracji kontrakcji dla punktu (korzystając przy tym -krotnie z nierówności trójkąta). Można wykazać, iż ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, a zatem ma granicę (bo jest zupełna). Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji że jego granica jest punktem stałym przekształcenia
Powstały też co najmniej cztery inne dowody tego twierdzenia, w tym jeden niekonstruktywny[6].
Zastosowania
Za pomocą tego twierdzenia można wykazać:
- twierdzenie o funkcji uwikłanej[7][8],
- twierdzenie o funkcji odwrotnej,
- twierdzenie Stone’a-Weierstrassa[7],
- istnienie atraktora układu przekształceń zwężających,
- zbieżności niektórych algorytmów numerycznych; zob. np. metoda Gaussa-Seidla.
Wykorzystuje się je też m.in. w teorii równań różniczkowych[7][9] i całkowych[potrzebny przypis].
Uogólnienia
- W twierdzeniu nie można opuścić założenia zupełności. Istotnie, odwzorowanie jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni w siebie, pozbawioną punktów stałych[6].
- Nie można też osłabić warunku kontrakcji, zastępując go zmniejszaniem odległości[6]:
- Funkcja zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego.
- Mimo to jeśli przestrzeń jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałego[potrzebny przypis].
Twierdzenie zachodzi też dla funkcji:
- gdzie jest przekształceniem przedziału w siebie, mającym pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inne[7].
Twierdzenia odwrotne
Twierdzenie Bessagi
Jeśli jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to można zmetryzować w sposób zupełny tak, by było kontrakcją względem tej metryki. Stałą kontrakcji może być dowolna liczba z przedziału zadana z góry[10].
Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; wykazał je Czesław Bessaga w 1958 roku[10].
Twierdzenie Meyersa
Niech będzie zupełną przestrzenią metryczną, a odwzorowaniem spełniającym następujące warunki:
- dla pewnego
- dla każdego
- istnieje takie otoczenie punktu że dla dowolnego otoczenia tego punktu istnieje taki indeks że dla
Wówczas dla dowolnej stałej istnieje równoważna z metryka zupełna na przy której jest kontrakcją ze stałą [potrzebny przypis].
Przypisy
- ↑ Banacha twierdzenie o punkcie stałym, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-26] .
- ↑ a b
Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 2, Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych, 3. Zupełność, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-25].
- ↑ Kuratowski 1972 ↓, s. 215.
- ↑ Górnicki 2008 ↓, s. 1.
- ↑ a b
Szymon Wąsowicz, Opowieść o mapie, blog „Być matematykiem”, byc-matematykiem.pl, 15 marca 2015 [dostęp 2023-08-25].
- ↑ a b c Górnicki 2008 ↓, s. 3.
- ↑ a b c d e Górnicki 2008 ↓, s. 4.
- ↑ Kuratowski 1972 ↓, s. 216–217.
- ↑ Kuratowski 1972 ↓, s. 216.
- ↑ a b Górnicki 2008 ↓, s. 5.
Bibliografia
- JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Wariacje na temat Zasady Banacha, Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach, smp.uph.edu.pl, 2008 [dostęp 2023-08-26] .
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. 1972, seria: Biblioteka Matematyczna.
Literatura dodatkowa
- Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
- William A. Kirk, Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Banach Fixed Point Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-24].
Contracting-mapping principle (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
- p
- d
- e
odmiany (warunki wystarczające) | |
---|---|
uogólnienia (warunki konieczne) | |
twierdzenia | |
powiązane funkcje |
|
inne powiązane tematy | |
uczeni |