Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym
Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym:
- Każde ciągłe odwzorowanie sympleksu[a] w siebie ma punkt stały.
Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty).
n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w zawierający punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych, np. dla kuli Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi.
Twierdzenie Brouwera pochodzi z 1910 roku i pojawiło się jako wynik rozważań Brouwera o piątym problemie Hilberta[1]. Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni ale szybko rozszerzył również w wyższe wymiary. Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez łotewskiego matematyka Piersa Bohla w 1904 roku oraz francuskiego matematyka Henri Poincarégo w 1886 roku[2][3].
Twierdzenie Brouwera wynika z twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym oraz jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia Schaudera o punkcie stałym.
Zastosowania
- Jeżeli jest kulą jednostkową w to jej powierzchnia (homeomorficzna ze sferą ) nie jest jej retraktem. Istotnie, gdyby istniała retrakcja to odwzorowanie takie, że nie miałoby punktów stałych wbrew twierdzeniu Brouwera. Jeśli to a więc Zaś gdy to bo [4].
- Żadna sfera nie jest ściągalna. Istotnie, każdy różny od 0 punkt kuli można jednoznacznie przedstawić w postaci dla pewnych oraz Gdyby istniała homotopia od identyczności do odwzorowania stałego, to przekształcenie byłoby retrakcją kuli na jej powierzchnię[4].
Zobacz też
Uwagi
- ↑ Twierdzenie Brouwera zostało sformułowane dla kuli n-wymiarowej, ale formułuje się je też w równoważnym przypadku n-wymiarowego sympleksu, są to bowiem zbiory homeomorficzne.
Przypisy
- ↑ L.E.J. Brouwer, Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich, „Math. Ann.”, 69 (1910), s. 176–180.
- ↑ P. Bohl, Ueber die Beweging eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage, „J. Reine Angew. Math.”, 127 (1904), s. 179–276.
- ↑ H. Poincaré, Sur les courbes definies par les équations différentielles, „J. de Math.”, 2 (1886).
- ↑ a b R. Duda: Wprowadzenie do topologii. Część I. Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1986, s. 322–323. ISBN 83-01-05714-9.
Linki zewnętrzne
- Brouwer theorem (ang.) Encyclopaedia of Mathematics, SpringerLink
- JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Elementarnie o twierdzeniu Brouwera, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, lipiec 2020, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-08-26] (pol.).
- p
- d
- e
odmiany (warunki wystarczające) | |||||
---|---|---|---|---|---|
uogólnienia (warunki konieczne) | |||||
twierdzenia |
| ||||
powiązane funkcje |
| ||||
inne powiązane tematy | |||||
uczeni |
- GND: 4226759-6
- Britannica: topic/Brouwers-fixed-point-theorem