ガウス=クズミン分布
確率質量関数 | |
累積分布関数 | |
母数 | (none) |
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台 | |
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期待値 | |
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最頻値 | |
分散 | |
歪度 | なし |
尖度 | なし |
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数学の分野におけるガウス=クズミン分布(ガウス=クズミンぶんぷ、英: Gauss–Kuzmin distribution)とは、(0, 1) 内に一様に分布されたある確率変数の連分数展開に現れる係数の極限確率分布として生じるある離散確率分布のことである[1]。1800年頃にこの分布を発見したカール・フリードリヒ・ガウス[2]と、1929年にその収束率の評価を与えたロディオン・クズミン(英語版)の名に因む[3][4]。それは次のような確率質量関数で与えられる。
ガウス=クズミンの定理
今
を (0, 1) 内に一様に分布する確率変数 x の連分数展開とする。このとき
が成立する。また同値であるが、
とすれば、
は n が無限大に向かうに従ってゼロに近付く。
収束率
1928年、クズミンは次の評価を与えた。
1929年、ポール・レヴィはこの評価を次のように改善した[5]。
その後エデュアルト・ヴィルズィングは、λ = 0.30366…(ガウス=クズミン=ヴィルズィング定数)に対して、次の極限
が [0, 1] 内のすべての s について存在すること、およびその関数 Ψ(s) は解析的であり Ψ(0) = Ψ(1) = 0 を満たすことを示した[6]。その後のさらなる評価は、K.I. Babenko によって示されている[7]。
関連項目
- ヒンチンの定数(英語版)
出典
- ^ Weisstein, Eric W. "Gauss–Kuzmin Distribution". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Gauss, C.F.. Werke Sammlung. 10/1. pp. 552–556. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN236018647
- ^ Kuzmin, R.O. (1928). “On a problem of Gauss”. DAN SSSR: 375–380.
- ^ Kuzmin, R.O. (1932). “On a problem of Gauss”. Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna 6: pp. 83–89.
- ^ Lévy, P. (1929). “Sur les lois de probabilité dont dépendent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue”. Bulletin de la Société Mathématique de France 57: pp. 178–194. JFM 55.0916.02. http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1929__57__178_0.
- ^ Wirsing, E. (1974). “On the theorem of Gauss–Kusmin–Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces”. Acta Arithmetica 24: pp. 507–528.
- ^ Babenko, K.I. (1978). “On a problem of Gauss”. Soviet Math. Dokl. 19: pp. 136–140.
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離散単変量で 有限台 | |
離散単変量で 無限台 | |
連続単変量で 有界区間に台を持つ | |
連続単変量で 半無限区間に台を持つ |
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連続単変量で 実数直線全体に台を持つ | |
連続単変量で タイプの変わる台を持つ | |
混連続-離散単変量 |
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多変量 (結合) | |
方向 |
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退化と特異 |
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族 |
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サンプリング法(英語版) |
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