ボックス=ミュラー法のイメージ。単位正方形 (u 1, u 2)内部の色の付いた点は円状に散布され、2次元正規分布となる。上と右の余白に点で示される曲線は変換後の確率密度関数である。図は有限の区間でのプロットであるが、実際には変換後の分布は無限に広がる。the SVG fileでは、カーソルを合わせた点と関係する点をハイライトする。 ボックス=ミュラー法 (ボックス=ミュラーほう、英 : Box–Muller's method )とは、一様分布 に従う確率変数 から標準正規分布 に従う確率変数を生成させる手法[1] 。計算機シミュレーションにおいて、正規分布に従う擬似乱数 の発生に応用される。統計学者ジョージ・ボックス(英語版) とマーヴィン・マラー(ミュラー)によって考案された[2] 。
概要 確率変数 X 及び Y が互いに独立で、ともに(0, 1)上での一様分布 に従うものとする。このとき、
Z 1 = − 2 log X cos 2 π Y , Z 2 = − 2 log X sin 2 π Y {\displaystyle {\begin{aligned}Z_{1}&={\sqrt {-2\log {X}}}\cos {2\pi Y},\\Z_{2}&={\sqrt {-2\log {X}}}\sin {2\pi Y}\end{aligned}}} で定義される Z 1 , Z 2 は、平均 0、分散 1 の標準正規分布 N(0,1)に従う互いに独立な確率変数となる。一様分布に従う X 及び Y から正規分布に従う Z 1 , Z 2 を与えるこの変換をボックス=ミュラー変換 という。また、この正規分布に従う確率変数を生成させる方法のことをボックス=ミュラー法 という。ボックス=ミュラー法によって、比較的生成が容易な一様分布に従う乱数から、応用上、重要な正規分布に従う乱数を生成させることができる。
発想 2次元の標準正規分布に従う (Z 1 , Z 2 ) において、2変数が互いに独立であれば、同時確率密度関数
f ( z 1 , z 2 ) = 1 2 π exp ( − z 1 2 + z 2 2 2 ) {\displaystyle f(z_{1},z_{2})={\frac {1}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}{2}}\right)} は、円周上で定数値を与えることから、偏角
Θ = arctan Z 2 Z 1 {\displaystyle \Theta =\arctan {\frac {Z_{2}}{Z_{1}}}} は (0, 2π ) 上で、一様分布をなす。一方、2次元ベクトル (Z 1 , Z 2 ) の大きさの2乗
R 2 = Z 1 2 + Z 2 2 {\displaystyle R^{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}} は自由度2のカイ二乗分布 に従う。ここで、カイ二乗分布の性質から exp(−R 2 /2) は、(0, 1) 上の一様分布となる。
これらのことから、逆に (0, 1) 上で一様分布する2つの独立な確率変数 X , Y により、
Θ = 2 π Y , R 2 = − 2 log X {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta &=2\pi Y,\\R^{2}&=-2\log {X}\end{aligned}}} とすれば、
Z 1 = R cos Θ , Z 2 = R sin Θ {\displaystyle {\begin{aligned}Z_{1}&=R\cos {\Theta },\\Z_{2}&=R\sin {\Theta }\end{aligned}}} で定義される確率変数 Z 1 , Z 2 は標準正規分布 N(0, 1) に従うこととなる。
証明 ボックス=ミュラー変換が標準正規分布を与えることは、特性関数を調べることで確認できる[1] 。実際、Z 1 については、その特性関数は、
Φ Z 1 ( ξ ) = ⟨ e i ξ Z 1 ⟩ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 exp ( i ξ − 2 log x cos 2 π y ) d x d y {\displaystyle \Phi _{Z_{1}}(\xi )=\langle e^{i\xi Z_{1}}\rangle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\exp(i\xi {\sqrt {-2\log {x}}}\cos {2\pi y})dxdy} であり、変数変換
x = exp ( − r 2 2 ) , y = θ 2 π , d x d y = | J | d r d θ = r 2 π exp ( − r 2 2 ) d r d θ {\displaystyle x=\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2}}\right),\,y={\frac {\theta }{2\pi }},\,dxdy=|J|drd\theta ={\frac {r}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2}}\right)drd\theta } によって、
Φ Z 1 ( ξ ) = 1 2 π ∫ 0 ∞ ∫ 0 2 π exp ( i ξ r cos θ − r 2 2 ) r d r d θ {\displaystyle \Phi _{Z_{1}}(\xi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\exp \left(i\xi r\cos {\theta }-{\frac {r^{2}}{2}}\right)rdrd\theta } となるが、さらに変数変換
z = r cos θ , w = r sin θ , d z d w = | J | d r d θ = r d r d θ {\displaystyle z=r\cos {\theta },\,w=r\sin {\theta },\,dzdw=|J|drd\theta =rdrd\theta } を行えば、
Φ Z 1 ( ξ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ exp ( i ξ z − z 2 + w 2 2 ) d z d w = exp ( − ξ 2 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Z_{1}}(\xi )&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(i\xi z-{\frac {z^{2}+w^{2}}{2}}\right)dzdw\\&=\exp \left(-{\frac {\xi ^{2}}{2}}\right)\end{aligned}}} を得る。これは、標準正規分布 N(0, 1) の特性関数にほかならない。
脚注
参考文献 原論文 G.E.P. Box; M.E. Muller (1958), “A note on the generation of random normal deviates”, Annals Math. Stat. 29 : 610-611, doi:10.1214/aoms/1177706645, http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.aoms/1177706645 参考書籍 四辻哲章『計算機シミュレーションのための確率分布乱数生成法』プレアデス出版、2010年。ISBN 978-4903814353。 添田喬 、太田光雄、大松繁 『数理統計の基礎と応用』日新出版、2000年。ISBN 978-4817301079。
関連項目