多項分布

多項分布

確率質量関数
累積分布関数
母数	試行回数 ${\displaystyle n>0}$（整数） 各試行の確率 ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{k}}$ (${\displaystyle \Sigma p_{i}=1}$)
台	${\displaystyle x_{i}\in \{0,\cdots ,n\},\,\,\,\,i\in \{1,\cdots ,k\}}$ ${\displaystyle \Sigma x_{i}=n}$
確率質量関数	${\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}{p_{1}}^{x_{1}}\cdots {p_{k}}^{x_{k}}}$
期待値	${\displaystyle E[X_{i}]=np_{i}}$
分散	${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]=np_{i}(1-p_{i})}$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)}$
モーメント母関数	${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}}$
特性関数	${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}\right)^{n}}$ where ${\displaystyle i^{2}=-1}$
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多項分布（たこうぶんぷ、英: multinomial distribution）は、確率論において二項分布を一般化した確率分布である。

二項分布は、n 個の独立なベルヌーイ試行の「成功」の数の確率分布であり、各試行の「成功」確率は同じである。多項分布では、各試行の結果は固定の有限個（k 個）の値をとり、それぞれの値をとる確率は p₁, …, p_k（すなわち、i = 1, …, k について p_i ≥ 0 であり、${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}p_{i}=1}$ が成り立つ）であり、n 回の独立した試行が行われる。確率変数 X_i は n 回の試行で i という数が出る回数を示す。X = (X₁, …, X_k) は n と p をパラメータとする多項分布に従う。

多項分布の確率質量関数は次の通りである。

${\displaystyle f(x_{1},\cdots ,x_{k};n,p_{1},\cdots ,p_{k})={\begin{cases}{\dfrac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}&{\text{when }}\sum \limits _{i=1}^{k}x_{i}=n\\[1ex]0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

ここで、x₁, …, x_k は負でない整数である。

期待値は次の通り。

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]=np_{i}.}$

共分散行列は次の通りである。対角線上のエントリは二項分布確率変数の分散であるから、次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {var} [X_{i}]=np_{i}(1-p_{i}).}$

対角線以外のエントリは共分散であり、次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {cov} [X_{i},X_{j}]=-np_{i}p_{j}}$

ここで、i ≠ j である。

共分散は全体として負となる。なぜなら、N が固定であるとき多項ベクトルで1つが増加すると他が減少するためである。

これは、k × k の非負値定符号行列であり、行列の階数は k − 1 である。

対応する相関行列の対角線以外のエントリは以下のようになる。

${\displaystyle \rho [X_{i},X_{j}]=-{\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(1-p_{i})(1-p_{j})}}}.}$

この表現では標本サイズ n が出現しない点に注意されたい。

k個の要素それぞれは n と p_i（i 番目の要素に対応する確率）をパラメータとする二項分布となる。

多項分布のサポートは集合 ${\displaystyle \{(n_{1},\cdots ,n_{k})\in \mathbb {N} ^{k}\mid n_{1}+\cdots +n_{k}=n\}}$ である。その要素数は ${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}=\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle }$ である（重複組合せ）。

• k = 2 の多項分布を二項分布と呼ぶ。
• ベイズ統計での多項の共役事前分布をディリクレ分布と呼ぶ。

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