Diagram Arganda
![]() | Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem płaszczyzna zespolona. Nie opisano powodu propozycji integracji. |
Diagram Arganda jest sposobem geometrycznego przedstawienia liczby zespolonej na płaszczyźnie[1]. Liczbie zespolonej odpowiada w nim punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Początek układu współrzędnych odpowiada liczbie zero, a oś odciętych – zbiorowi liczb rzeczywistych.
Historia
Diagram Arganda został po raz pierwszy zastosowany przez matematyka duńskiego Caspara Wessela w 1797 roku, lecz jego dzieło zostało odkryte dopiero po upływie 100 lat, w 1897 roku, gdy Duńska Akademia Nauk wydała jego francuski przekład[2]. W roku 1807 Szwajcar Robert Argand opublikował pracę Próba pewnego sposobu przedstawienia wielkości urojonych w konstrukcjach geometrycznych[3], w której zinterpretował same liczby i oba działania na nich (dodawanie i mnożenie). Książka Arganda, wydana anonimowo, stała się znana po publikacji jej przez Josepha Blaise Gergonne’a w Rocznikach matematyki czystej i stosowanej[4]. Tamże została opublikowana żywa dyskusja na temat interpretacji wielkości urojonych[5]. Pierwszym matematykiem, który posługiwał się diagramem we właściwy sposób był Carl Friedrich Gauss w dysertacji z 1799 roku.
Praca Wessela
Wessel nie zajmował się subtelnościami w rodzaju pytań o równość odcinków skierowanych (wektorów) na płaszczyźnie, a dla dodawania i mnożenia sprawdzał tylko poszczególne prawa rachunku. Wektor łączący początek układu współrzędnych z punktem oznaczał przez i znalazł następujące wyniki[6]:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Diagram_of_Argand_%28Wessel%29.svg/300px-Diagram_of_Argand_%28Wessel%29.svg.png)
Na tej podstawie wnioskował, że Następnie odcinkowi skierowanemu przyporządkował liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej Na tak określonych liczbach zespolonych rozważał wszystkie działania i udowodnił wzór de Moivre’a (również dla wykładnika ułamkowego) oraz rozwiązał wiele zadań o trójkątach sferycznych.
Diagram Arganda – ujęcie formalne
Wystarczy określić mnożenie.
Ponieważ
więc
czyli liczbę zespoloną można identyfikować z liczbą rzeczywistą i wtedy
Zatem i
Wtedy
Diagram Arganda w ujęciu H.S.M. Coxetera[7]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Argand_1.svg/300px-Argand_1.svg.png)
Punkty na płaszczyźnie dodaje się tak, jak odpowiadające im wektory wychodzące z początku układu (czyli zera):
Innymi słowy, aby dodać stosujemy przesunięcie przekształcające punkt w punkt
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Argand_2.svg/300px-Argand_2.svg.png)
Mnożenie punktu przez liczbę rzeczywistą jest jednokładnością. Na przykład:
Mnożenie przez jest półobrotem wokół punktu Dlatego mnożenie przez pierwiastek kwadratowy z jest takim przekształceniem, którego kwadrat (czyli złożenie przekształcenia z samym sobą) jest półobrotem wokół punktu czyli ćwierćobrót wokół punktu (czyli obrót o kąt prosty)[8].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Argand_3.svg/250px-Argand_3.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Argand_5.svg/250px-Argand_5.svg.png)
Wobec tego mnożenie przez dowolną liczbę zespoloną powinno być przekształceniem, dla którego punkt jest punktem stałym i które zawiera zarówno jednokładności o środku w jak i obroty dokoła jako przypadki szczególne. Mnożenie dowolnego punktu przez ustalony punkt definiuje się jako podobieństwo spiralne o środku które przeprowadza punkt w punkt [9]. Jeżeli punkty i mają współrzędne biegunowe odpowiednio i czyli
Wówczas podobieństwo spiralne, w którym mnoży się przez i dodaje do przekształca współrzędne
na współrzędne
Stąd wzór
Przypisy
- ↑ Arganda diagram, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-12-03] .
- ↑ Caspar Wessel: Essai sur la représentation analytique de la direction, avec applications etc. 1897.
- ↑ Jean Robert Argand: Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géometriqués. Paris: 1806.
- ↑ „Annales de mathématiques pures et appliquées”. 4, 1813/14. Joseph Blaise Gergonne.
- ↑ Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia (tłum. z jęz. ros.). A.P. Juszkiewicz (red.). T. 3. Warszawa: PWN, 1977, s. 71.
- ↑ Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia (tłum. z jęz. ros.). A.P. Juszkiewicz (red.). T. 3. Warszawa: PWN, 1977, s. 70–71.
- ↑ Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej (tłum. z jęz. ang.). Warszawa: PWN, 1967, s. 156–158.
- ↑ Hardy G.H.: Pure Mathematics. Wyd. 10. London: 1955, s. 83.
- ↑ Klein F.: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus erster Band. Arithmetik, Algebra, Analysis. Wyd. 3. Berlin: 1928, s. 57.
Bibliografia
- Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej (tłum. z jęz. ang.). Warszawa: PWN, 1967.
- Klein F.: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus erster Band. Arithmetik, Algebra, Analysis. Wyd. 3. Berlin: 1928.
- Hardy G.H.: Pure Mathematics. Wyd. 10. London: 1955.
- Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia (tłum. z jęz. ros.). A.P. Juszkiewicz (red.). T. 3. Warszawa: PWN, 1977.
- Birkhoff G., Mac Lane S.: Przegląd algebry współczesnej (tłum. z jęz. ang.). Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1966.
- p
- d
- e
pojęcia podstawowe |
| ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
płaszczyzna zespolona |
| ||||||||
istotne podzbiory |
| ||||||||
twierdzenia | |||||||||
struktury tworzone przez cały zbiór |
| ||||||||
struktury tworzone przez podzbiory |
| ||||||||
inne pojęcia | |||||||||
powiązane działy matematyki |
| ||||||||
badacze według daty narodzin |
| ||||||||
uogólnienia |