Analityczna teoria liczb
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Riemann-Zeta-Func.png/220px-Riemann-Zeta-Func.png)
Analityczna teoria liczb w matematyce jest częścią teorii liczb zajmującą się zastosowaniami metod analizy matematycznej w celu rozwiązania problemów dotyczących liczb całkowitych[1].
Głównymi obiektami (lub narzędziami) badań analitycznej teorii liczb są funkcja zeta Riemanna oraz, zdefiniowane jako o ogólniejsza klasa, funkcje L Dirichleta (lub jeszcze ogólniej – funkcje L)[1][2]. Za prekursora tej dziedziny postrzegany jest Peter Gustav Lejeune Dirichlet, który w 1837 r. udowodnił twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych[1].
Klasyfikacja i podział
Analityczną teorię liczb można ogólnie zdefiniować dwojako,
- w zakresie narzędzi, jako nauka korzystająca z analizy rzeczywistej i zespolonej, rozwiązująca problemy teorii liczb[1];
- w zakresie badań, jako nauka wypracowująca szacowania i przybliżenia liczebności zbiorów rozważanych w teorii liczb[3].
Analityczną teorię liczb zwykle dzieli się na poddziały:
- multiplikatywną teorię liczb (badającą obiekty takie jak funkcja zeta Riemanna, do której najbardziej znanych wyników należy twierdzenie o liczbach pierwszych);
- addytywną teorię liczb (zajmującą się np. problemem Waringa czy hipotezą Goldbacha).
Choć powyższy podział utrwalił się w literaturze, współcześnie wiele kierunków badań przeplata ze sobą metody różnych dziedzin, aby osiągnąć efektywne rezultaty. Do najbardziej znaczących należą:
- probabilistyczna teoria liczb,
- teoria sit,
- badania form automorficznych.
Historia
Prehistoria – Euler i Riemann
Pierwsze badania skupione były na analizie zachowania funkcji liczącej liczby pierwsze Rozumiemy przez nią liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych (np. bo liczbami pierwszymi w przedziale są 2,3,5,7). O nieskończoności liczb pierwszych wiedziano już od Euklidesa, ale asymptotyka czy nierówności opisujące wielkości funkcji pozostawały nieznane. W XVIII w. Carl Friedrich Gauss i Adrien-Marie Legendre postawili (niezależnie od siebie) hipotezę mówiącą, że[4]
jest właściwym przybliżeniem (przez rozumiemy logarytm naturalny z ).
Pierwszym znaczącym krokiem w tej materii były, na pozór niepowiązane z liczbami pierwszymi, prace Leonharda Eulera poświęcone szeregom potęg odwrotności liczb naturalnych (w tym problemowi bazylejskiemu), a dokładniej – dowód słuszności iloczynu Eulera[5].
Niech będzie liczbą rzeczywistą. Rozważmy (zbieżny) szereg
Zamiast rozważać sumę po wszystkich liczbach naturalnych, możemy sumować tylko liczby niebędące wielokrotnościami 2. Aby to osiągnąć zauważmy, że szereg
sumuje wyłącznie wielokrotności 2, więc szereg
jest tym, którego poszukiwaliśmy. Postępując analogicznie, z powyższego szeregu możemy wyeliminować wszystkie wielokrotności liczby 3. Zauważmy, że szereg
zawiera wyłącznie liczby będące wielokrotnościami 3 i niebędące wielokrotnościami 2, zatem szereg
nie zawiera żadnych wielokrotności liczby 2 ani liczby 3. Kontynuując ten proces dla wszystkich liczb pierwszych, otrzymamy
Równoważnie, możemy stwierdzić, że
na całym obszarze czyli w którym szereg definiujący funkcję zeta jest zbieżny. Powyższa równość stała się punktem wyjścia dla Bernharda Riemanna. W swojej słynnej pracy[6] z 1859 r. zdefiniował funkcję zeta jako
dla zespolonych, przy a następnie przedłużył analitycznie definicję na całą płaszczyznę zespoloną. W ten sposób, definiując jako dla będącego liczbą pierwszą lub w każdym innym wypadku, Riemann był w stanie uzyskać dokładny wzór
gdzie:
dla funkcji Möbiusa i logarytmu całkowego przy czym oznacza sumę po wszystkich nietrywialnych miejscach zerowych funkcji zeta ( takich, że ).
Od tego momentu funkcję rozważano przede wszystkim z wykorzystaniem funkcji zeta.
Twierdzenie o liczbach pierwszych – Hadamard i Poussin
W 1896 r. Jacques Hadamard[7] i Charles Jean de la Vallée Poussin[8] udowodnili, niezależnie od siebie, że funkcja zeta nie ma miejsc zerowych na półprostej Odkrycie to pozwoliło im udowodnić treść twierdzenia o liczbach pierwszych, tzn.
Oba dowody oparte były na pomysłach prezentowanych przez Riemanna oraz twierdzeniach analizy zespolonej.
Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych – Dirichlet
Peter Gustav Lejeune Dirichlet uznawany jest za ojca analitycznej teorii liczb[2]. Jako pierwszy udowodnił, że jeśli to ciąg arytmetyczny zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód Dirichleta oparty był na analizie funkcji L, zdefiniowanych jako
gdzie jest liczbą zespoloną, a jest charakterem Dirichleta mod zdefiniowanym jako
dla pewnego Dirichlet był w stanie wykazać, że wartość w jest niezerowa, co stanowiło najważniejszą część dowodu.
Metoda łuków – Hardy i Littlewood
Metoda łuków Hardy’ego-Littlewooda (lub Hardy’ego-Ramanujana-Littlewooda) powstała jako nowa metoda analizy problemów addytywnych poprzez odpowiednią analizę funkcji generujących. Oryginalnie, ta strategia rozumowania była rozwijana przez Godfreya Hardy’ego, Srinivasę Ramanujana i Johna Littlewooda w kontekście problemu Waringa[9]. Ich prace rozważały szereg potęgowy
gdzie jest potęgą liczb rozważanych w problemie. Jeśli przez oznaczymy liczbę sposobów na przedstawienie jako liczb będącymi -tymi potęgami, widzimy, że
Niech będzie dodatnio zorientowanym okręgiem o środku 0 i promieniu Wówczas
Metoda Hardy’ego-Littlewooda opierała się na odpowiednim szacowaniu powyższej całki, w taki sposób, by pokazać, kiedy
Modyfikacja metody – Winogradow
Iwan Winogradow zmodyfikował podejście Hardy’ego, Ramanujana i Littlewooda, aby udowodnić, że wszystkie dostatecznie duże liczby nieparzyste spełniają hipotezę Goldbacha dla trzech liczb[10]. W swojej pracy Winogradow udowodnił i skorzystał z twierdzenia mówiącego, że funkcja
gdzie oznacza funkcję von Mangoldta, spełnia zależność
przy czym dla nieparzystych jest funkcją ograniczoną.
Zmiany w podejściu polegały przede wszystkim na rozważaniu skończonej sumy trygonometrycznej
gdzie jest ustaloną liczbą, a Widzimy, że
dla dlatego dowód Winogradowa opierał się na oszacowaniu całki
Rozwój teorii sit – Brun, Selberg
W miarę rozwoju nauki część matematyków powróciła do metod elementarnych, niewymagających korzystania z funkcji zeta ani funkcji L Dirichleta. Viggo Brun, dowodząc w 1919 r. zbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych, zapoczątkował rozwój nowej poddziedziny analitycznej teorii liczb – teorii sit. Nowe twierdzenia umożliwiły ustalanie efektywnych szacowań odgórnych, ale nie aż tak dobrych szacowań oddolnych[11].
Podejście Bruna kontynuował później Atle Selberg. Sito nazywane dzisiaj jego nazwiskiem, umożliwiło wypracowanie zupełnie nowych wyników, m.in. w zakresie liczb pierwszych bliźniaczych, liczb pierwszych postaci czy liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.
Współczesna teoria liczb
W ostatnich latach rozwój badań skupiony jest przede wszystkim na dalszym pogłębianiu rozważań opartych na teorii sit, ale także wykorzystywaniu wcześniej niestosowanych w teorii liczb twierdzeń.
Do pierwszej grupy można zaliczyć wysiłki m.in. Zhang Yitanga, Jamesa Maynarda, Terence’a Tao, Bena Greena, a także całej grupy Polymath, skupionych na wypracowaniu jak najlepszego oszacowania
(obecnie najlepszym wynikiem jest bezwarunkowo oraz przy założeniu uogólnionej hipotezy Elliotta-Halberstama).
Do drugiej grupy można zaliczyć twierdzenie Greena-Tao, mówiące o tym, że liczby pierwsze zawierają ciągi arytmetyczne dowolnej długości. Metoda dowodu twierdzenia oparta była na twierdzeniu Szemerédiego, dotyczącego gęstości podzbiorów zbioru liczb naturalnych.
Narzędzia analitycznej teorii liczb
Twierdzenia abelowskie i tauberowskie
Ze względu na częste występowanie w analitycznej teorii liczb obiektów takich, jak szeregi liczbowe, często stosuje się wobec nich twierdzenia abelowskie i tauberowskie. Grupa twierdzeń nazywanych abelowskimi – na cześć Nielsa Henrika Abela – mówi o tym, w jaki sposób zachowują się szeregi sumujące elementy danego ciągu w określony sposób, jeśli znamy asymptotyczne zachowanie wyrazów tego ciągu. Grupa twierdzeń odwrotnych, nazwanych po Alfredzie Tauberze, opisuje zachowanie ciągu przy znajomości zachowania szeregu.
Przykładowo, twierdzenie tauberowskie Harolda N. Shapiro[1] mówi, że jeśli
to
Klasycznymi wnioskami z twierdzenia Shapiro są zależności[1]
oraz
Szeregi Dirichleta
Pojęcie szeregu Dirichleta dotyczy w ogólności wszystkich szeregów postaci
gdzie jest liczbą zespoloną, W naturalny sposób, podczas badania szeregów Dirichleta, możemy definiować ich mnożenie z wykorzystaniem splotu Dirichleta,
Iloczyn Eulera
Choć oryginalne twierdzenie Eulera dotyczyło jedynie funkcji zeta na obszarze jej zbieżności, wnioski Eulera można uogólnić na wszystkie zbieżne szeregi postaci
gdzie jest całkowicie multiplikatywną funkcją arytmetyczną, a – pewną liczbą zespoloną, przy czym Szeregi te można przedstawić równoważnie, w postaci iloczynu Eulera
Problemy otwarte
Poniżej przedstawiono kilka z najważniejszych i zarazem najbardziej znanych problemów otwartych w analitycznej teorii liczb.
- Hipoteza Riemanna – czy każde nietrywialne miejsce zerowe funkcji zeta Riemanna leży na linii krytycznej ? Problem uznawany jest powszechnie za najbardziej znaczący w całej teorii liczb, doczekał się licznych publikacji. W praktyce, hipoteza Riemanna jest równoważna z zależnością
- gdzie Li oznacza resztę logarytmu całkowego
- Uogólniona hipoteza Riemanna – czy każde nietrywialne miejsce zerowe funkcji L Dirichleta leży na linii krytycznej ? Prawdziwość tej hipotezy pociągałaby za sobą skutki analogiczne do zwykłej hipotezy Riemanna, ale dotyczące liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Jeśli jest ona prawdziwa, to
- Hipoteza Goldbacha – czy każda liczba parzysta większa niż 2 może być przedstawiona w postaci sumy dwóch liczb pierwszych?
- Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych – czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych takich, że jest również liczbą pierwszą?
- Problem stałej Linnika – jeśli dla liczb całkowitych oznacza najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu arytmetycznym to czy dla wszystkich par zachodzi zależność
- dla stałej ? Pozytywne rozwiązanie byłoby znaczącym poprawieniem wyników Jurija Linnika, który pierwszy wykazał istnienie takiej stałej, ale nie podał żadnych wartości numerycznych. Współcześnie najlepszy wynik wynosi [12]. Przy założeniu uogólnionej hipotezy Riemanna można wykazać nierówność[13]
Przypisy
- ↑ a b c d e f Tom M.T.M. Apostol Tom M.T.M., Introduction to Analytic Number Theory, „Undergraduate Texts in Mathematics”, 1976, DOI: 10.1007/978-1-4757-5579-4, ISSN 0172-6056 [dostęp 2023-08-11] .
- ↑ a b HenrykH. Iwaniec HenrykH., EmmanuelE. Kowalski EmmanuelE., Analytic Number Theory, Colloquium Publications, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 8 czerwca 2004, DOI: 10.1090/coll/053, ISBN 978-0-8218-3633-0 [dostęp 2023-08-14] .
- ↑ AndrewA. Granville AndrewA., Analytic number theory, „The Princeton Companion to Mathematics”, Princeton University Press, 2008, ISBN 978-0-691-11880-2 (ang.).
- ↑ Leonard E.L.E. Dickson Leonard E.L.E., History of the theory of numbers, Washington: Carnegie Institution of Washington, 1919, DOI: 10.5962/t.174912 [dostęp 2023-08-14] .
- ↑ JohnJ. Derbyshire JohnJ., The Golden Key, and an Improved Prime Number Theorem, 2003 (ang.).
- ↑ BernhardB. Riemann BernhardB., Über die anzahl der primzahlen unter einer gegebenen größe, 1859 (niem.).
- ↑ J.J. Hadamard J.J., Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta(s)$ et ses conséquences arithmétiques, „Bulletin de la Société mathématique de France”, 2, 1896, s. 199–220, DOI: 10.24033/bsmf.545, ISSN 0037-9484 [dostęp 2023-08-14] .
- ↑ Charles-Jean de la ValléeCh.J.V. Poussin Charles-Jean de la ValléeCh.J.V., Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers, „Annales de la Société scientifique de Bruxelles”, Imprimeur de l’Académie Royale de Belgique, 1896 (fr.).
- ↑ Melvyn B.M.B. Nathanson Melvyn B.M.B., Additive Number Theory, New York, NY: Springer New York, 2010, s. 1–8, DOI: 10.1007/978-0-387-68361-4_1, ISBN 978-0-387-37029-3 [dostęp 2023-08-16] .
- ↑ N. Rouse, Vinogradov’s three prime theorem https://math.uchicago.edu/~may/REU2013/REUPapers/Rouse.pdf, 2013 (ang.).
- ↑ JohnJ. Friedlander JohnJ., HenrykH. Iwaniec HenrykH., Opera de Cribro, Colloquium Publications, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 22 czerwca 2010, DOI: 10.1090/coll/057, ISBN 978-0-8218-4970-5 [dostęp 2023-08-17] .
- ↑ TriantafyllosT. Xylouris TriantafyllosT., On the least prime in an arithmetic progression and estimates for the zeros of Dirichlet L-functions, „Acta Arithmetica”, 150 (1), 2011, s. 65–91, DOI: 10.4064/aa150-1-4, ISSN 0065-1036 [dostęp 2023-08-14] .
- ↑ Y.Y. Lamzouri Y.Y., X.X. Li X.X., K.K. Soundararajan K.K., Conditional bounds for the least quadratic non-residue and related problems, „Math. Comp.”, 84 (295), 2015, s. 2391–2412, DOI: 10.1090/S0025-5718-2015-02925-1 (ang.).
- p
- d
- e
główne |
|
---|---|
dyscypliny z arytmetyką w nazwie |
|
- p
- d
- e
działy ogólne |
| ||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
działy czyste |
| ||||||||||||||||||
działy stosowane |
| ||||||||||||||||||
powiązane zajęcia |
|
- Britannica: topic/analytic-number-theory
- Universalis: nombres-theorie-des-theorie-analytique