Wzór de Moivre’a – wzór na potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej, tj. w postaci
(1) Jeżeli jest liczbą całkowitą, to n-tą potęgę liczby z określa wzór[1]:
(2) Jeżeli wykładnik potęgi jest odwrotnością liczby naturalnej, postaci 1/n, to obliczanie potęgi oznacza obliczanie pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej (analogicznie jak dla liczb rzeczywistych), przy czym w dziedzinie liczb zespolonych każda liczba z ma n pierwiastków stopnia n-tego. Określa je wzór:
.
Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku[2]. Na początku XIX stulecia upowszechniło się nazywanie tego wzoru od jego nazwiska[3].
Postacie wykładnicze wzorów de Moivre’a
W zapisie wykładniczym powyższe wzory mają postacie:
- postać wykładnicza liczby zespolonej,
- potęga n-ta liczby zespolonej,
- pierwiastki n-te liczby zespolonej.
Dowód
Dla wzór jest oczywisty.
Niech wzór jest prawdziwy dla tzn.
Wówczas dla dostaniemy
Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego
Liczba 1 ma w dziedzinie liczb zespolonych n pierwiastków stopnia n-tego
Interpretacja pierwiastków zespolonych w płaszczyźnie zespolonej
Pierwiastki 5-tego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej
Jeżeli liczbę zespoloną zinterpretuje się jako wektor na płaszczyźnie zespolonej, to pierwiastek n-tego stopnia z liczby jest zbiorem wektorów, których końce są rozłożone równomiernie co kąt na okręgu o środku w punkcie i promieniu , przy czym pierwszy wektor jest nachylony do osi rzeczywistej pod katem .
Np. Pierwiastki 5-tego stopnia z liczby układają się na okręgu o promieniu , , (gdyż , ).