Odwzorowanie nierozszerzające
| Ten artykuł od 2023-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Odwzorowanie nierozszerzające, nieoddalające[1], słaba kontrakcja – odwzorowanie przestrzeni metrycznych, które nie zwiększa odległości punktów. Formalnie: niech oraz będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie nazywamy nierozszerzającym, jeśli dla dowolnych zachodzi nierówność[1]:
Innymi słowy, odwzorowanie nierozszerzające to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą równą 1.
Własności
Każde odwzorowanie nierozszerzające, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest jednostajnie ciągłe, a więc w szczególności ciągłe.
W przeciwieństwie do kontrakcji, odwzorowanie nierozszerzające przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie może nie mieć punktów stałych (np. translacje w przestrzeniach Banacha) lub mieć ich wiele (np. identyczność na ). Przy dodatkowych założeniach o można jednak wykazać istnienie punktu stałego. Przykładowo, jeśli jest niepustym, domkniętym, ograniczonym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta, to ma punkt stały (twierdzenie Browdera-Goehde’a-Kirka).
Teoria kategorii
Odwzorowania nierozszerzające są morfizmami w kategorii przestrzeni metrycznych.
Przypisy
- ↑ a b Górnicki 2009 ↓, s. 246.
Bibliografia
- Jarosław Górnicki: Okruchy matematyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009. ISBN 978-83-01-16002-9.
- p
- d
- e
- analiza matematyczna
- topologia
odmiany (warunki wystarczające) |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
uogólnienia (warunki konieczne) | |||||
twierdzenia | |||||
powiązane funkcje |
| ||||
inne powiązane tematy | |||||
uczeni |