Operator d’Alemberta
Operator d’Alemberta (dalambercjan) – operator różniczkowy II rzędu definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora Laplace’a definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej.
Operator ten jest oznaczany symbolem „kwadrat” (rzadziej używane jest oznaczenie ). Wykorzystywany m.in. do zwięzłego zapisu równania falowego klasycznej elektrodynamiki czy równania Kleina-Gordona elektrodynamiki kwantowej.
Przyjmując sygnaturę metryki czasoprzestrzeni, operator ten wyrazimy za pomocą jego składowych.
Współrzędne
We współrzędnych operator d’Alemberta ma postać[1][2][3]
gdzie:
- – operator Laplace’a,
- – prędkość światła w próżni.
Po rozpisaniu operatora Laplace’a otrzyma się
Współrzędne
We współrzędnych mamy:
Zapis skrócony
Operator d’Alemberta zapisuje się za pomocą iloczynu skalarnego czterogradientu – przy czym iloczyn skalarny w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni definiuje się jako sumę iloczynów współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych, tj.
gdzie:
- – składowe kowariantne 4-gradientu,
- – składowe kontrawariantne 4-gradientu.
Wstawiając współrzędne, otrzyma się
przy czym
Zastosowania
Teoria drgań
Równanie falowe np. dla małych drgań (poziomej) struny
gdzie:
- – przemieszczenie (w pionie) struny od położenia równowagi,
- – współrzędna położenia punktu na strunie,
- – czas.
Elektrodynamika klasyczna
Równanie falowe fali elektromagnetycznej w próżni
gdzie – czteropotencjał pola elektromagnetycznego.
Elektrodynamika kwantowa
Zobacz też
1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego
- czterogradient
- czterowektor (tu m.in. na temat iloczynu skalarnego 4-wektorów)
2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
- dywergencja
- gradient
- operator Laplace’a
- operator nabla
- rotacja
3. Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej
- dywergencja na rozmaitości
- gradient na rozmaitości
- operator Laplace’a na rozmaitości
Przypisy
- ↑ Dalambercjan, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29] .
- ↑ Encyclopedia of Mathematics: D’Alembert operator. encyclopediaofmath.org. [dostęp 2016-11-12]. (ang.).
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., d’Alembertian, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2016-11-12] (ang.).
Bibliografia
- David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.
Linki zewnętrzne
D'Alembert operator (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
- p
- d
- e
pojęcia ogólne | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
pochodne funkcji | |||||||
typy funkcji definiowane pochodnymi | |||||||
punkty w dziedzinie definiowane pochodnymi |
| ||||||
analiza wielowymiarowa | |||||||
twierdzenia o funkcjach |
| ||||||
badacze według daty narodzin |
| ||||||
inne wątki historyczne |
- PWN: 3890356
- Treccani: operatore-dalembertiano