Reguła de l’Hospitala

Reguła de l’Hospitala lub de l’Hôpitala^[a] – twierdzenie w analizie matematycznej, konkretniej analizie rzeczywistej i rachunku różniczkowym, umożliwiające obliczanie niektórych granic funkcji w sytuacjach, gdzie występują symbole nieoznaczone ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ i ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$. Twierdzenie to opisuje zarówno granice funkcji w punkcie, jak i w nieskończoności, a także zarówno granice właściwe – inaczej skończone – jak i niewłaściwe, czyli nieskończone.

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt ${\displaystyle a}$ oraz

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0,}$

oraz istnieją (skończone) pochodne ${\displaystyle f'(a)}$ i ${\displaystyle g'(a),}$ przy czym ${\displaystyle g'(a)\neq 0,}$

wówczas

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}.}$

Jeśli dodatkowo ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ mają ciągłe pochodne w punkcie ${\displaystyle a,}$ to^[1][2]:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}}&=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{{\tfrac {-1}{e-x}}+1}}=\\=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{\tfrac {-1+(e-x)}{e-x}}}&=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}}={\tfrac {2e}{e-1}}.\end{aligned}}}$

Często zdarza się jednak, że funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ nie są określone w punkcie ${\displaystyle a,}$ jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala:

Niech funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ będą określone w przedziale ${\displaystyle (a,b]}$ oraz

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=0,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=0,}$

lub

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=\pm \infty ,}$

oraz istnieją (skończone) pochodne ${\displaystyle f'}$ i ${\displaystyle g'}$ w przedziale ${\displaystyle (a,b],}$ przy czym ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ dla ${\displaystyle x\in (a,b].}$

Wówczas, jeśli istnieje granica

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,}$

to wtedy również

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.}$

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych^[2][3][4].

Niech funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ będą określone w przedziale ${\displaystyle [c,\infty )}$ oraz

1. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=0,}$

lub

1. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=\pm \infty ,}$

oraz istnieją (skończone) pochodne ${\displaystyle f'}$ i ${\displaystyle g'}$ w przedziale ${\displaystyle [c,\infty ),}$ przy czym ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ dla ${\displaystyle x\in [c,\infty ).}$

Wówczas, jeśli istnieje granica

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,}$

to wtedy również

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.}$

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy ${\displaystyle x\to -\infty }$^[2][3][4].

Jeżeli funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ są określone w przedziale otwartym ${\displaystyle I}$ zawierającym punkt ${\displaystyle a}$ oraz

1. w przedziale ${\displaystyle I}$ istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do ${\displaystyle n}$ włącznie funkcji ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g,}$
2. ${\displaystyle f(a)=f'(a)=\ldots =f^{(n-1)}(a)=0,}$ ${\displaystyle g(a)=g'(a)=\ldots =g^{(n-1)}(a)=0,}$ oraz ${\displaystyle g^{(n)}(a)\neq 0,}$
3. ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ dla ${\displaystyle x\in I\setminus \{a\},}$

wówczas

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}}}$^[2][4].

Regułę tę opisał po raz pierwszy Johann Bernoulli, opublikował zaś jego uczeń Guillaume François Antoine de l’Hospital^[a]. W 1696 de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, w którym zawarto to twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia^{[potrzebny przypis]}, niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.

Nazwa reguła de l’Hospitala pojawiła się najpóźniej w 1905 roku, w podręczniku analizy autorstwa Édouarda Goursata^[5][6].

• twierdzenie Stolza

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-02175-6.
• Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14946-8.
• PawełP. Strzelecki PawełP., Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) [online], mimuw.edu.pl, 14 grudnia 2018 [dostęp 2024-07-08] .

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., L'Hospital's Rule, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].
• L'Hospital rule (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].