Pochodna kierunkowa – pochodna funkcji wielu zmiennych x = [ x 1 , … , x n ] ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{n}]\in \mathbb {R} ^{n}} obliczona w kierunku dowolnego wektora jednostkowego u = [ u 1 , … , u n ] . {\displaystyle \mathbf {u} =[u_{1},\ldots ,u_{n}].} Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych .
Definicja pochodnej kierunkowej Paraboloida, która jest wykresem funkcji f : R 2 → R , {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,} w czerwonym punkcie ma maksimum; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum. Niech dana będzie przestrzeń euklidesowa R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} i zawarty w niej podzbiór otwarty A . {\displaystyle A.}
Pochodną kierunkową funkcji f : A → R {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} } wzdłuż wektora jednostkowego u = [ u 1 , … , u n ] ∈ R n {\displaystyle \mathbf {u} =[u_{1},\ldots ,u_{n}]\in \mathbb {R} ^{n}} w punkcie x = [ x 1 , … , x n ] ∈ A {\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{n}]\in A} nazywamy granicę
∂ f ( x ) ∂ u = lim t → 0 f ( x + t u ) − f ( x ) t , {\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {u} }}=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{t}},} zakładając, że granica ta istnieje.
Związek pochodnej kierunkowej z gradientem Okręgi przedstawiają linie o stałych wartościach funkcji f ( x , y ) = x 2 + y 2 . {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.} Zielony wektor wskazuje gradient funkcji, wektor pomarańczowy u {\displaystyle \mathbf {u} } wskazuje kierunek, w którym liczy się pochodną kierunkową. Wektor gradientu jest dłuższy, gdyż wskazuje kierunek największej zmiany wartości funkcji. Twierdzenie:
Jeżeli istnieje gradient funkcji ∇ f ( x ) {\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )} w punkcie x {\displaystyle \mathbf {x} } (co oznacza, że f {\displaystyle f} jest różniczkowalna w x {\displaystyle \mathbf {x} } )
∇ f = [ ∂ f ∂ x 1 , … , ∂ f ∂ x n ] , {\displaystyle \nabla f=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right],} to pochodna kierunkowa funkcji f {\displaystyle f} w kierunku wektora u {\displaystyle \mathbf {u} } jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji f {\displaystyle f} i wektora u {\displaystyle \mathbf {u} }
∇ u f ( x ) = ∇ f ( x ) ⋅ u {\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }f(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {u} }
Przykład (1) Niech będzie dana funkcja
f ( x , y ) = x 2 + x y − y 2 . {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}.} (2) Gradient funkcji f {\displaystyle f} wynosi
∇ f ( x , y ) = [ ∂ f ( x , y ) ∂ x , ∂ f ( x , y ) ∂ y ] = [ 2 x + y , x − 2 y ] . {\displaystyle \nabla f(x,y)=\left[{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}},\ {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right]=\left[2x+y,\ x-2y\right].} (3) Pochodna kierunkowa funkcji f {\displaystyle f} w kierunku jednostkowego wektora u = [ 1 5 , 2 5 ] {\displaystyle \mathbf {u} =\left[{\frac {1}{\sqrt {5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {5}}}\right]} dana jest zależnością
∇ u f ( x , y ) = ∇ f ( x , y ) ⋅ u = [ 2 x + y , x − 2 y ] [ 1 5 , 2 5 ] , {\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf {u} =\left[2x+y,\ x-2y\right]\left[{\frac {1}{\sqrt {5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {5}}}\right],} czyli
∇ u f ( x , y ) = 1 5 ( 2 x + y ) + 2 5 ( x − 2 y ) = 4 x − 3 y 5 . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }f(x,y)={\frac {1}{\sqrt {5}}}(2x+y)+{\frac {2}{\sqrt {5}}}(x-2y)={\frac {4x-3y}{\sqrt {5}}}.}
Twierdzenia Pochodna kierunkowa ma wiele własności identycznych jak zwykła pochodna. Wśród nich, dla funkcji f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} określonych w otoczeniu punktu x , {\displaystyle \mathbf {x} ,} w którym funkcje te są różniczkowalne , słuszne są reguły:
(1) reguła sumy
∇ v ( f + g ) = ∇ v f + ∇ v g . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.} (2) reguła stałej: dla dowolnej stałej c ∈ R {\displaystyle c\in R} zachodzi
∇ v ( c f ) = c ∇ v f . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.} (3) reguła iloczynu (reguła Leibniza)
∇ v ( f g ) = g ∇ v f + f ∇ v g . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\,\nabla _{\mathbf {v} }f+f\,\nabla _{\mathbf {v} }g.} (4) reguła łańcuchowa : jeśli g {\displaystyle g} jest różniczkowalna w x , {\displaystyle \mathbf {x} ,} zaś h {\displaystyle h} jest różniczkowalna w g ( x ) {\displaystyle g(\mathbf {x} )} to
∇ v ( h ∘ g ) ( x ) = ∇ h ( g ( x ) ) ∇ v g ( x ) . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {x} )=\nabla h{\bigl (}g(\mathbf {x} ){\bigr )}\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {x} ).}
Pochodna w kierunku wektora niejednostkowego (1) Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego i niezerowego wektora v {\displaystyle \mathbf {v} } ma postać:
∂ f ∂ v ( x ) = lim t → 0 + f ( x + t v ) − f ( x ) t | v | , {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(\mathbf {x} )=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t|\mathbf {v} |}},} gdzie | v | {\displaystyle |\mathbf {v} |} – długość wektora v . {\displaystyle \mathbf {v} .}
(2) Twierdzenie
Gdy f {\displaystyle f} jest różniczkowalna w punkcie x , {\displaystyle \mathbf {x} ,} to
∇ v f ( x ) = ∇ f ( x ) ⋅ v | v | , {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}},} czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego.
Uwaga:
Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne algebry różniczkowej tworzą przestrzeń liniową.
Pochodna kierunkowa pochodnej Frécheta Dla bardziej ogólnego przypadku pochodnej Frécheta D f ( x ) {\displaystyle \operatorname {D} \!f(\mathbf {x} )} pochodną kierunkową wyznacza wzór:
∂ f ( x ) ∂ u = D f ( x ) ( u ) {\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {u} }}=\operatorname {D} \!f(\mathbf {x} )(\mathbf {u} )}
Związek z pochodną cząstkową Jeśli { e 1 , … , e n } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}} jest bazą standardową w R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} to pochodna kierunkowa funkcji f : R n → R m {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} wzdłuż wektora dla u = e i {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {e} _{i}} jest równa pochodnej cząstkowej względem zmiennej x i , {\displaystyle x_{i},} tzn.
∂ f ( x ) ∂ e i = ∂ f ( x ) ∂ x i , {\displaystyle {\frac {\partial f(\mathrm {x} )}{\partial \mathbf {e} _{i}}}={\frac {\partial f(\mathrm {x} )}{\partial x_{i}}},} gdzie x = [ x 1 , … , x n ] . {\displaystyle \mathrm {x} =[x_{1},\dots ,x_{n}].}
Rozmaitości różniczkowe Przestrzeń styczna T x M {\displaystyle T_{x}M} 2-wymiarowa (tj. płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości M {\displaystyle M} (powierzchni) w punkcie x {\displaystyle x} oraz wektor styczny v ∈ T x M {\displaystyle v\in T_{x}M} do krzywej γ {\displaystyle \gamma } przechodzącej przez punkt x ∈ M . {\displaystyle x\in M.} Jeżeli:
(1 ) f {\displaystyle f} jest funkcją określoną w otoczeniu punktu x {\displaystyle x} rozmaitości różniczkowej M , {\displaystyle M,} różniczkowalną w punkcie x → {\displaystyle {\vec {x}}}
(2 ) v → {\displaystyle {\vec {v}}} oznacza wektor styczny do rozmaitości M {\displaystyle M} w punkcie x → {\displaystyle {\vec {x}}}
(3 ) odwzorowanie γ → : [ − 1 , 1 ] → M {\displaystyle {\vec {\gamma }}\colon [-1,1]\to M} generuje krzywą różniczkowalną γ → ( τ ) , {\displaystyle {\vec {\gamma }}(\tau ),} taką że
γ → ( 0 ) = x → {\displaystyle {\vec {\gamma }}(0)={\vec {x}}} oraz γ → ′ ( 0 ) = v → , {\displaystyle {\vec {\gamma }}\,'(0)={\vec {v}},} to pochodną kierunkową w punkcie x → {\displaystyle {\vec {x}}} wzdłuż wektora v → {\displaystyle {\vec {v}}} definiuje wzór
∇ v → f ( p ) = d d τ ( f ∘ γ → ) ( τ ) | τ = 0 . {\displaystyle \nabla _{\vec {v}}f(p)={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \tau }}(f\circ {\vec {\gamma }})(\tau ){\Big |}_{\tau =0}.} Tw. Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej γ → . {\displaystyle {\vec {\gamma }}.}
Przestrzenie liniowo-topologiczne Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (w tym przestrzenie Banacha ) jest tzw. pochodna Gâteaux.
Różne oznaczenia pochodnej kierunkowej Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, np.
∂ f ∂ u ( x ) , D u f ( x ) , f u ′ ( x ) , ∇ u f ( x ) , u ∇ f ( x ) . {\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial \mathbf {u} }}(\mathbf {x} ),\;\operatorname {D} _{\mathbf {u} }f(\mathbf {x} ),\;f'_{\mathbf {u} }(\mathbf {x} ),\;\nabla _{\mathbf {u} }f(\mathbf {x} ),\;\mathbf {u} \nabla f(\mathbf {x} ).}
Zobacz też Inne
Bibliografia Krzysztof Maurin : Analiza . Cz. I: Elementy. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce Witold Kołodziej: Analiza matematyczna , Warszawa: PWN, 2009.