Algebra uniwersalna[1] – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych, nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną[2]. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych. Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną[3]), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór
operacji n-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą.
Algebra
Niech
będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru
nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym
są symbolami działań
-argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór
wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi
-argumentowego działania
Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole
z działaniami
Algebrę można zdefiniować także w następujący sposób. Parę
gdzie
jest zbiorem, a
nazywa się typem algebry. Parę
nazywa się algebrą typu
jeśli zbiory
i
są równoliczne i każdemu
odpowiada
taki, że
Element
nazywa się działaniem lub operacją
-argumentową.
Przykłady algebr
Półgrupa
Algebrę
w której
a ponadto działanie
jest łączne, tzn. dla każdych
zachodzi
![{\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703158760f1e2a937545ae1643456132ac9787e3)
nazywa się półgrupą.
Grupa
Algebrę
w której
działanie
jest łączne, a ponadto dla każdego
![{\displaystyle a\circ e=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafd805939a22b203e2fb026be3edffd56d6e30d)
![{\displaystyle a\circ a^{-1}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc86e8f004ad7b6a9229615994beb8448d9bdff)
nazywa się grupą.
Krata
Krata to algebra
w której
a ponadto dla każdych
1. | | |
2. | | |
3. | | |
4. | | |
Podalgebra
Podalgebrą algebry
z działaniami
nazywa się niepusty zbiór
taki, że dla każdego działania
obcięcie
jest działaniem w
Kongruencje
Relację równoważności
w algebrze
nazywa się kongruencją jeśli dla każdego
i dla każdych
![{\displaystyle x_{1}\equiv y_{1}\wedge x_{2}\equiv y_{2}\wedge \ldots \wedge x_{k}\equiv y_{k}\Rightarrow d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})\equiv d_{k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8716d6757004beeb9baf744177b0a6c331caa50d)
Algebra ilorazowa
Mając kongruencję
w algebrze
można skonstruować algebrę tego samego typu co
Niech
będzie zbiorem ilorazowym. Definiujemy
oraz
wzorem
![{\displaystyle \phi _{\equiv }([x_{1}],[x_{2}],\dots ,[x_{k}]):=[\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2792a8e2b1c484dc000e0371b175488717ee7ef5)
dla
-argumentowego działania
z tak zdefiniowanymi działaniami zazywamy algebrą ilorazową. Działania
są dobrze określone, tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów
Homomorfizm algebr
Homomorfizmem algebr
i
ze zbiorem symboli
nazywa się funkcję
taką, że dla każdego
i dla każdych
![{\displaystyle \phi (d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}))=d_{k}(\phi (x_{1}),\phi (x_{2}),\dots ,\phi (x_{k})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54751b449708fcf52aacbd24c12452c99db45aad)
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Stanley N. Burris, H.P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2. Brak numerów stron w książce
- ↑ А. Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 5–10.
- ↑ Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31–32.
Bibliografia
- Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H.P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. (monografia dostępna w sieci)
- А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974. Brak numerów stron w książce
- Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983. Brak numerów stron w książce
Linki zewnętrzne
- Elementy algebry uniwersalnej
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Universal Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].
Działy algebry
główne | - elementarna
- wyższa
- abstrakcyjna
- liniowa i wieloliniowa
|
---|
algebra abstrakcyjna | - algebra homologiczna
- algebra przemienna
- algebra uniwersalna
- teoria Galois
- różniczkowa teoria Galois
- teoria grup
- teoria Liego
- teoria reprezentacji
|
---|
powiązane dyscypliny | |
---|
działy ogólne | według trudności | |
---|
według celu | |
---|
inne | |
---|
|
---|
działy czyste | |
---|
działy stosowane | |
---|
powiązane zajęcia | |
---|
- LCCN: sh85003433
- NKC: ph256069, ph123565
- J9U: 987007293932605171
- LNB: 000117520