Teoria ergodyczna
Teoria ergodyczna (stgr. εργον, ergon - "praca", οδος, odos - "droga") jest dziedziną matematyki zajmującą się ergodycznymi układami dynamicznymi. W najszerszym rozumieniu, teoria ergodyczna zajmuje się analizą jakościową działań grupowych na przestrzeniach (takich jak topologiczne, metryczne czy rozmaitości). Ważne jest, aby każde działanie zachowywało konkretną strukturę przestrzeni[1].
Historia
Pojęcie "ergodyczności" jako pierwszy wprowadził Boltzmann, aby opisać hipotezę dotyczącą działania na powierzchni energii potencjalnej. Niech będzie hamiltonianem, typem występującym w mechanice statystycznej. jest wówczas powierzchnią energii. Oznaczając przez stan punktu układu po czasie , Boltzmann przypuszczał, że dla każdego i orbita będzie równa całej powierzchni. Zdanie to nazwał hipotezą ergodyczną. Hipoteza ta okazała się jednak być fałszywa[1].
W matematyce, pierwsze twierdzenia bliskie ogólnym wynikom ergodycznym dotyczyły rozmieszczenia ciągu (część ułamkowa) dla niewymiernej w przedziale . Powiemy, że jest rozmieszczony jednostajnie na , jeśli dla dowolnych , zachodzi
.
W latach 1909–1910 Bohl[2], Sierpiński[3] i Weyl[4] udowodnili niezależnie od siebie jednoznaczne rozmieszczenie ciągu . Pierwsze dowody były elementarne, korzystały jedynie z analizy fourierowskiej. Niedługo później, w 1916 Weyl sformułował twierdzenie[5] mówiące, że dowolny ciąg o wyrazach w przedziale jest rozmieszczony jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji , całkowalnej w sensie Riemanna zachodzi
.
Twierdzenie to ma faktyczny charakter ergodyczny - szereg po lewej stronie możemy traktować jako "średnią w czasie", a całkę po prawej jako "średnią w przestrzeni". Funkcja ma okres równy 1. Zgodnie z teorią Fouriera, każdą funkcję okresową można wyrazić jako kombinacja liniowa specjalnych funkcji okresowych dla . Weyl skorzystał z tej obserwacji, aby poprzedni warunek zastąpić przez
dla dowolnego . Powyższe pozwoliło mu udowodnić kolejne twierdzenie.
Twierdzenie (Weyla o jednostajnym rozmieszczeniu wielomianów)[6]. Niech będzie danym wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Jeśli przynajmniej jeden ze współczynników jest niewymierny, to ciąg jest rozmieszczony jednostajnie na .
W 1931 r. Koopman opublikował krótki artykuł o znaczących obserwacjach[7]. Jeśli jest odwracalne i zachowuje miarę w przestrzeni , to operator zdefiniowany na (przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem) poprzez jest unitarny. Halmos pisze[8]:
Obserwacja Koopmana była jednocześnie wyzwaniem i wskazówką. Jeśli istnieje ścisły związek między transformacjami zachowującymi miarę i operatorami unitarnymi, to znana teoria analityczna takich operatorów musi z pewnością dawać pewne informacje o geometrycznym zachowaniu przekształceń. Do października 1931 r. von Neumann miał odpowiedź; tą odpowiedzią było średnie twierdzenie ergodyczne.
Twierdzenia ergodyczne
Twierdzenie Birkhoffa
Główny artykuł: twierdzenie ergodyczne Birkhoffa.
Jeśli jest układem ergodycznym, to dla dowolnej funkcji zachodzi[1]
dla prawie wszystkich .
Średnie twierdzenie ergodyczne (von Neumanna)
Jeśli jest układem ergodycznym, a jest ortogonalną projekcją na podprzestrzeń
,
to dla dowolnej funkcji zachodzi zbieżność w normie [9],
przy .
Zastosowania
Teoria liczb
Teoria ergodyczna znajduje wiele zastosowań w analizie klasycznych i nowych problemów teorii liczb.
W opublikowanym w 2018 r. artyklue Bartnicka, Kasjan, Kułaga-Przymus i Lemańczyk ogłosili wynik dotyczący powtarzania się "bloków" w tzw. zbiorach liczb B-wolnych[10]. Wyniki te powstały jako rozszerzenie programu Sarnaka, który początkowo obejmował jedynie dynamiczną analizę liczb bezkwadratowych[11]. W 2020 r. Kułaga-Przymus i Lemańczyk przedstawili hipotezę Chowli i Sarnaka z perspektywy teorii ergodycznej[12].
Przypisy
- ↑ a b c PeterP. Walters PeterP., An Introduction to Ergodic Theory, 1982 (Graduate Texts in Mathematics), DOI: 10.1007/978-1-4612-5775-2, ISBN 978-1-4612-5775-2, ISSN 0072-5285, OCLC 7330410432 .
- ↑ P.P. Bohl P.P., Über ein in der Theorie der säkularen Störungen vorkommendes Problem., „crll”, 1909 (135), 1909, s. 189–283, DOI: 10.1515/crll.1909.135.189, ISSN 0075-4102 .
- ↑ WacławW. Sierpiński WacławW., Sur la valeur asymptotique d'une certaine somme,, Kraków: Bulletin international de l'Académie des sciences de Cracovi, 1910, s. 9-11 (fr.).
- ↑ HermannH. Weyl HermannH., ÜBer die gibbs’sche erscheinung und verwandte konvergenzphÄnomene, „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”, 30 (1), 1910, s. 377–407, DOI: 10.1007/bf03014883, ISSN 0009-725X .
- ↑ HermannH. Weyl HermannH., Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, „Mathematische Annalen”, 77 (3), 1916, s. 313–352, DOI: 10.1007/bf01475864, ISSN 0025-5831 .
- ↑ William J.W.J. LeVeque William J.W.J., Uniform Distribution of Sequences (L. Kuipers and H. Niederreiter), „SIAM Review”, 19 (1), 1977, s. 168–169, DOI: 10.1137/1019028, ISSN 0036-1445 .
- ↑ B.O.B.O. Koopman B.O.B.O., Hamiltonian Systems and Transformation in Hilbert Space, „Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America”, 17 (5), 1931, s. 315–318, DOI: 10.1073/pnas.17.5.315, ISSN 0027-8424 .
- ↑ Paul R.P.R. Halmos Paul R.P.R., Von Neumann on measure and ergodic theory, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 64 (3), 1958, s. 86–94, DOI: 10.1090/s0002-9904-1958-10203-7, ISSN 0273-0979 .
- ↑ ManfredM. Einsiedler ManfredM., ThomasT. Ward ThomasT., Ergodic Theory, 2011 (Graduate Texts in Mathematics; 259), DOI: 10.1007/978-0-85729-021-2, ISBN 978-0-85729-021-2, OCLC 670064396 .
- ↑ AureliaA. Dymek AureliaA. i inni, ℬ-free sets and dynamics, „Transactions of the American Mathematical Society”, 370 (8), 2018, s. 5425–5489, DOI: 10.1090/tran/7132, ISSN 0002-9947 .
- ↑ P. Sarnak, Three lectures on the Möbius function, randomness and dynamics. http: //publications.ias.edu/sarnak/.
- ↑ JoannaJ. Kułaga-Przymus JoannaJ., MariuszM. Lemańczyk MariuszM., Sarnak’s Conjecture from the Ergodic Theory Point of View, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2020, s. 1–19, ISBN 978-3-642-27737-5 .
- p
- d
- e
działy ogólne |
| ||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
działy czyste |
| ||||||||||||||||||
działy stosowane |
| ||||||||||||||||||
powiązane zajęcia |
|
- Britannica: topic/ergodic-theory
- Universalis: theorie-ergodique
- БРЭ: 4937409