Relacja trychotomiczna – antysymetryczna, spójna i przeciwzwrotna relacja binarna. Jej przykładem jest porządek liczb rzeczywistych[1].
Definicja
Niech
będzie zbiorem. Relację
nazywamy relacją trychotomiczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:
![{\displaystyle \forall \;x,\,y\in X:\;(x\,{\mathcal {R}}\,y\wedge y\,{\mathcal {R}}\,x)\Rightarrow x=y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbf7ec2f07b804f41bb16841a1ab5eaed78ca34)
![{\displaystyle \forall \;x,\,y\in X:\;x\,{\mathcal {R}}\,y\vee y\,{\mathcal {R}}\,x\vee x=y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8426ad86b6b0820317bfd67c28346b87972fd3be)
![{\displaystyle \forall \;x\in X:\;\lnot \;x\,{\mathcal {R}}\,x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8073e692bc833b40850a15bf401c54c63c7a3f2)
Równoważnie, relacja
jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy:
![{\displaystyle \forall \;x,\,y\in X:\;(x\,{\mathcal {R}}\,y\;\wedge \;\lnot \;y\,{\mathcal {R}}\,x\;\wedge \;\lnot \;x=y)\;\vee \;(\lnot \;x\,{\mathcal {R}}\,y\;\wedge \;y\,{\mathcal {R}}\,x\;\wedge \;\lnot \;x=y)\;\vee \;(\lnot \;x\,{\mathcal {R}}\,y\;\wedge \;\lnot \;y\,{\mathcal {R}}\,x\;\wedge \;x=y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af59bf109582393e8ba3ded62a6f6d94c59b9c55)
Relacja
jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
zachodzi dokładnie jeden z warunków:
albo
albo
Przykłady
- Relację ostrego porządku definiuje się jako relację przechodnią, przeciwzwrotną i spójną (w myśl powyższej definicji spójności, która nie implikuje zwrotności). Przechodniość i przeciwzwrotność implikują antysymetryczność, stąd relację ostrego porządku można równoważnie zdefiniować jako relację przechodnią i trychotomiczną[2].
Zobacz też
Przypisy
- ↑ trychotomii własność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-12] .
- ↑ Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002, s. 34.
Relacje matematyczne
pojęcia podstawowe | |
---|
własności i typy | według liczby argumentów | |
---|
konkretne przykłady | |
---|
własności relacji binarnych | |
---|
praporządki | |
---|
inne zestawy własności | |
---|
|
---|
działania na relacjach | |
---|
powiązane struktury | |
---|
pozostałe pojęcia | |
---|