Relacja odwrotna
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Xsqrt_pos.svg/220px-Xsqrt_pos.svg.png)
Relacja odwrotna, konwers relacji[2] – przekształcenie relacji, zwłaszcza dwuargumentowej (binarnej), polegające na zamianie kolejności jej argumentów. Symbolicznie: niech Wtedy relacją odwrotną do nazywa się[3][4]:
Innymi słowy między dwoma elementami zachodzi relacja odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy relacja wyjściowa zachodzi dla nich w odwrotnej kolejności[5][6][1]: Inne oznaczenie to [2].
Odwracanie relacji jest inwolucją[7]: Przykłady relacji wzajemnie odwrotnych to przed i po, nad i pod[6], przodek i potomek, rodzic i dziecko, przełożony i podwładny, następca i poprzednik, język ojczysty i native speaker, a w matematyce – podzbiór i nadzbiór oraz dzielnik i wielokrotność. Relacja symetryczna jest nadzbiorem swojej odwrotności[3][7].
Szczególnym przypadkiem odwracania relacji jest odwracanie funkcji[1].
Własności algebraiczne
Dla zbioru relacji dwuargumentowych z działaniem sumy zbiorów odwracanie jest endomorfizmem[7]:
Podobne własności zachodzą dla przekroju[7] i różnicy zbiorów[8]:
Konwers dopełnienia relacji jest dopełnieniem jej konwersu[8]:
Dla złożenia relacji odwracanie jest już antyhomomorfizmem[7][9]:
Relacja odwrotna nie jest jednak elementem odwrotnym w półgrupie relacji binarnych; w ogólności Inkluzja zachodzi tylko dla funkcji częściowych (relacji funkcyjnych), a równość – dla bijekcji[3][10].
Przypisy
- ↑ a b c Grzegorczyk 1969 ↓, s. 19.
- ↑ a b Stanosz 2012 ↓, s. 111.
- ↑ a b c
Binary relation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-05].
- ↑ Wrzosek 2016 ↓, s. 43.
- ↑
Converse (ang.), Encyklopedia Britannica, britannica.com [dostęp 2023-08-05].
- ↑ a b
Fraser MacBride, Relations, 1. Preliminary Distinctions (ang.), plato.stanford.edu, 28 października 2020 [dostęp 2023-08-05].
- ↑ a b c d e
Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości. Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów, 3.1. Operacje na relacjach, wazniak.mimuw.edu.pl, 28 września 2020 [dostęp 2023-08-05].
- ↑ a b Stanosz 2012 ↓, s. 112.
- ↑ Smoluk 2017 ↓, s. 34.
- ↑
Functional relation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-05].
Bibliografia
- Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
- Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.
- Barbara Stanosz: Ćwiczenia z logiki. Warszawa: PWN, 2012. ISBN 978-83-01-14428-9.
- Dariusz Wrzosek: Matematyka dla biologów. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2016. ISBN 978-83-235-0460-3.
- p
- d
- e
pojęcia podstawowe |
| ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
własności i typy |
| ||||||||||
działania na relacjach |
| ||||||||||
powiązane struktury |
| ||||||||||
pozostałe pojęcia |