Funkcja symetryczna

Funkcja symetryczna – termin matematyczny oznaczający dwa różne pojęcia:

• Funkcją symetryczną ${\displaystyle n}$ zmiennych nazywa się taką funkcję, która dla dowolnego ${\displaystyle n}$-elementowego ciągu argumentów daje tę samą wartość, co dla dowolnej permutacji tego ciągu argumentów^[1]. Choć definicja ta obowiązuje dla funkcji, których ${\displaystyle n}$ argumentów należy do tego samego zbioru, to zwykle dotyczy funkcji wielomianowych, które nazywane są wówczas wielomianami symetrycznymi. Teoria niewielomianowych funkcji symetrycznych ${\displaystyle n}$ zmiennych jest bardzo słabo rozwinięta, tak więc pojęcie to jest rzadko używane w sensie ogólnym i pojawia się właściwie wyłącznie w definicji.

• W algebrze, a szczególnie w kombinatoryce algebraicznej, terminu „funkcja symetryczna” używa się często w odniesieniu do elementów pierścienia funkcji symetrycznych, gdzie pierścień ten jest swoistą granicą wielomianów symetrycznych ${\displaystyle n}$ zmiennych przy ${\displaystyle n}$ dążącym do nieskończoności. Ma on zastosowanie jako uniwersalna struktura, w której relacje między wielomianami symetrycznymi dają się wyrazić w sposób niezależny od liczby zmiennych (jego elementy nie są jednak ani wielomianami, ani funkcjami). Pierścień ten odgrywa m.in. ważną rolę w teorii reprezentacji grup symetrycznych.

Więcej informacji o tych znaczeniach można znaleźć w artykułach o wielomianach symetrycznych i pierścieniach funkcji symetrycznych; pozostała część tego artykułu dotyczy ogólnych własności funkcji symetrycznych ${\displaystyle n}$ zmiennych.

Daną funkcję ${\displaystyle n}$ zmiennych o wartościach w grupie abelowej, dalej oznaczaną symbolem ${\displaystyle f,}$ można przekształcić w funkcję symetryczną sumując ją względem wszystkich permutacji jej argumentów. Podobnie można przekształcić ją w funkcję antysymetryczną sumując względem permutacji parzystych, a następnie odejmując sumę permutacji nieparzystych. Operacje te są oczywiście nieodwracalne i mogą dać w wyniku dla nietrywialnych funkcji ${\displaystyle f}$ funkcję tożsamościowo równą zeru. Jedynym ogólnym przypadkiem, w którym można odzyskać ${\displaystyle f}$ jest, gdy tak jej symetryzacja jak i antysymetryzacja są znane przy ${\displaystyle n=2,}$ a grupa abelowa umożliwia dzielenie przez ${\displaystyle 2}$ (odwrotność podwojenia); wówczas ${\displaystyle f}$ jest równa połowie sumy jej symetryzacji i antysymetryzacji (por. rozkład funkcji na część parzystą i nieparzystą).

• Przemienność