Grupa bijekcji

Ten artykuł dotyczy grup bijekcji dowolnych zbiorów. Zobacz też: grupa permutacji.

Grupa bijekcji – grupa wszystkich bijekcji ustalonego zbioru z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako funkcja odwrotna).

Grupy te nazywa się również grupami symetrycznymi, choć często rozumie się przez to grupy permutacji (czyli bijekcji zbiorów skończonych). Grupy bijekcji zbioru ${\displaystyle X}$ oznaczane są często^[1] ${\displaystyle \mathrm {S} (X),}$ choć stosuje się też inne oznaczenia, np. ${\displaystyle \mathrm {Bij} (X)}$^[2], ${\displaystyle \mathrm {Sym} (X),}$ czy ${\displaystyle \Sigma _{X}.}$

Liczba elementów (tj. rząd) grupy bijekcji zbioru ${\displaystyle X}$ wynosi ${\displaystyle |X|!;}$ w przypadku skończonym zapis ten należy rozumieć jako silnię, w nieskończonym jako ${\displaystyle |X|!=2^{|X|}}$ (na podstawie twierdzenia Cantora–Bernsteina–Schrödera).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę bijekcji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup bijekcji dotyczą również dowolnych grup abstrakcyjnych.

Jeśli ${\displaystyle X=\varnothing }$ jest zbiorem pustym, to grupa bijekcji składa się z jednego elementu, ${\displaystyle \varnothing \to \varnothing }$ (bijekcji pustej). Gdy ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$ jest zbiorem liczb naturalnych, to grupa bijekcji jest mocy continuum, gdyż ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }={\mathfrak {c}}.}$